Với dữ liệu khảo sát khoá luận (thường 200–400 phiếu), đánh giá phân phối chuẩn bằng hệ số skewness và kurtosis: |skewness| < 2 và |kurtosis| < 7 là chấp nhận được (Curran et al., 1996; Kim, 2013); nhiều giáo trình dùng ngưỡng chặt hơn là ±2 cho cả hai. Shapiro-Wilk và Kolmogorov-Smirnov gần như luôn cho p < 0,05 khi mẫu lớn, nên đừng dựa riêng vào chúng. Dữ liệu lệch vừa phải không cần xử lý cho hồi quy, t-test, ANOVA với mẫu lớn; lệch nặng thì dùng bootstrap, kiểm định phi tham số hoặc PLS-SEM.
Đây là câu hỏi hội đồng hay hỏi và cũng là chỗ sinh viên hay mất thời gian nhất: chạy Shapiro-Wilk, thấy p = 0,000, rồi hoảng. Bài này giải thích vì sao điều đó bình thường, kèm ví dụ thật bạn tự chạy lại được.
Phân phối chuẩn cần cho cái gì?
Không phải mọi biến đều phải chuẩn. Giả định chuẩn áp dụng cho:
- Hồi quy OLS: phần dư cần xấp xỉ chuẩn, không phải từng biến. Với mẫu lớn, kiểm định t và F của hệ số vẫn đúng gần đúng nhờ định lý giới hạn trung tâm (Lumley et al., 2002).
- t-test, ANOVA: biến phụ thuộc trong từng nhóm. Lumley et al. (2002) cho thấy với mẫu vài trăm, t-test bền vững cả khi dữ liệu lệch rõ.
- CFA, CB-SEM với ước lượng ML: nhạy với kurtosis nhiều biến, ảnh hưởng chủ yếu đến χ² và sai số chuẩn (Curran et al., 1996).
- Cronbach's alpha, EFA bằng PCA hay PAF: không yêu cầu chuẩn. EFA bằng Maximum Likelihood thì có.
- PLS-SEM: không yêu cầu chuẩn vì dùng bootstrap (Hair et al., 2019).
Các cách kiểm định phân phối chuẩn
| Cách | Đọc thế nào | Ưu, nhược |
|---|---|---|
| Skewness (độ lệch) | 0 là đối xứng; âm là lệch trái (dồn về điểm cao), dương là lệch phải | Đọc được mức độ, không phụ thuộc nhiều vào cỡ mẫu |
| Kurtosis (độ nhọn) | SPSS báo kurtosis vượt mức (excess), chuẩn là 0; dương là nhọn, đuôi dày | Như trên |
| z = hệ số / sai số chuẩn | So với 1,96 hoặc 3,29 | Chỉ hợp với mẫu nhỏ, mẫu lớn luôn "vượt" |
| Shapiro-Wilk (1965) | p < 0,05 là không chuẩn | Mạnh nhất cho mẫu nhỏ; mẫu lớn bắt cả lệch không đáng kể |
| Kolmogorov-Smirnov hiệu chỉnh Lilliefors (1967) | p < 0,05 là không chuẩn | Yếu hơn Shapiro-Wilk (Ghasemi & Zahediasl, 2012) |
| Histogram, Q-Q plot | Điểm bám đường chéo là chuẩn | Nên luôn xem kèm |
Ngưỡng skewness và kurtosis theo cỡ mẫu
Kim (2013) tổng hợp quy tắc dùng theo cỡ mẫu:
| Cỡ mẫu | Tiêu chí |
|---|---|
| Dưới 50 | |z| của skewness và kurtosis < 1,96, hoặc Shapiro-Wilk p ≥ 0,05 |
| 50 đến 300 | |z| < 3,29 |
| Trên 300 | Dùng giá trị tuyệt đối: |skewness| < 2 và |kurtosis| < 7 (theo kurtosis vượt mức) |
Ngưỡng 2 và 7 đến từ mô phỏng của Curran et al. (1996) cho phân tích nhân tố khẳng định. Nhiều giáo trình SPSS dùng ±2 cho cả kurtosis, chặt hơn; nếu dữ liệu đạt ±2 thì đạt cả hai cách. Các ngưỡng khác ở trang ngưỡng chấp nhận.
Ví dụ thật: dữ liệu mobi (n = 250)
Bộ mobi (gói R seminr) gồm 250 khách hàng điện thoại di động, thang 1–10, mô hình ECSI (Tenenhaus et al., 2005). File mobi.csv ở trang kiểm chứng. Với n = 250, sai số chuẩn của skewness là 0,154, của kurtosis là 0,307.
| Biến | Trung bình | Độ lệch chuẩn | Skewness | z | Kurtosis | z |
|---|---|---|---|---|---|---|
| CUSA1 | 7,99 | 1,23 | −0,223 | −1,45 | 0,206 | 0,67 |
| CUSA3 | 7,32 | 1,75 | −0,675 | −4,38 | 1,038 | 3,38 |
| CUEX1 | 7,58 | 1,62 | −0,671 | −4,36 | 0,902 | 2,94 |
| IMAG1 | 7,64 | 1,70 | −0,912 | −5,92 | 1,786 | 5,82 |
| CUSL1 | 7,45 | 2,66 | −1,007 | −6,54 | 0,128 | 0,42 |
| CUSL2 | 4,99 | 2,84 | 0,552 | 3,58 | −0,883 | −2,88 |
| CUSL3 | 7,67 | 2,22 | −1,072 | −6,96 | 0,937 | 3,06 |
Bảng chỉ trích 7 trong 24 biến. Trên cả 24 biến, skewness nằm trong khoảng −1,083 đến 0,552 và kurtosis từ −0,883 đến 2,807. Cách đọc: theo giá trị tuyệt đối, mọi biến đều có |skewness| < 2 và |kurtosis| < 7; chỉ IMAG5 có kurtosis 2,807 vượt ngưỡng chặt ±2. Theo z với ngưỡng 3,29, chỉ CUSA1 đạt hoàn toàn. Hầu hết lệch trái (skewness âm) vì khách hàng chấm điểm cao, rất điển hình cho thang hài lòng. CUSL2 ngược lại lệch phải, trung bình 4,99 thấp hẳn hai câu cùng thang. Khi một câu lệch ngược chiều các câu còn lại của cùng khái niệm, hãy mở bảng hỏi gốc kiểm tra xem câu có phải câu đảo chiều chưa mã hoá ngược, hay đo một khía cạnh khác.
So sánh với mẫu lớn: trong bộ bfi (2.800 người, cũng ở trang kiểm chứng), câu E3 có skewness −0,471 và kurtosis −0,462, rất gần chuẩn theo giá trị tuyệt đối, nhưng z = −10,13 và −4,97 vì sai số chuẩn chỉ 0,046. Mẫu càng lớn, z và các kiểm định Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov càng "bắt lỗi" những lệch nhỏ không ảnh hưởng gì đến phân tích. Đó là lý do Kim (2013) chuyển sang dùng giá trị tuyệt đối khi n > 300.
Với hồi quy, thứ cần kiểm tra là phần dư. Hồi quy lòng trung thành (CUSL) theo bốn biến trên dữ liệu này cho phần dư có skewness 0,008 và kurtosis 0,689, thống kê Kolmogorov-Smirnov D = 0,039, nhỏ hơn giá trị tới hạn Lilliefors xấp xỉ 0,886/√250 = 0,056 ở mức 5%. Phần dư đạt chuẩn dù nhiều biến quan sát lệch rõ. Mọi số trên tính theo công thức của SPSS; psych::describe(type = 2) trong R cho cùng kết quả.
Chạy trong SPSS
- Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives → Options, tick Skewness và Kurtosis. SPSS in kèm Std. Error.
- Muốn có Shapiro-Wilk, Q-Q plot: Analyze → Descriptive Statistics → Explore → Plots, tick Normality plots with tests.
- Phần dư hồi quy: trong Linear Regression, Plots tick Histogram và Normal probability plot; Save tick Unstandardized residuals rồi chạy Explore cho biến phần dư.
Không có SPSS: công cụ phân tích dữ liệu in bảng thống kê mô tả có skewness, kurtosis cho từng biến quan sát và viết sẵn câu nhận xét theo ngưỡng. Muốn được chẩn đoán từ số bạn đã có, nhập vào Bác sĩ kết quả.
Dữ liệu không phân phối chuẩn thì làm sao?
Đi theo thứ tự này:
- Kiểm tra lỗi nhập liệu và phiếu rác. Giá trị ngoài thang (ví dụ 55 thay vì 5), phiếu chọn một mức cho mọi câu làm phân phối méo. Sửa lỗi nhập liệu là đúng; loại phiếu theo quy tắc đặt trước, áp cho mọi phiếu, không theo mục tiêu làm dữ liệu "chuẩn". Xem cách lọc phiếu không hợp lệ.
- Kiểm tra đúng đối tượng. Với hồi quy là phần dư, với t-test là từng nhóm. Nhiều trường hợp biến lệch nhưng phần dư vẫn ổn, như ví dụ trên.
- Lệch vừa phải (trong ngưỡng 2 và 7), mẫu trên khoảng 100: tiếp tục phân tích tham số, ghi rõ ngưỡng và nguồn. Đây là trường hợp của phần lớn khoá luận.
- Lệch nặng hoặc mẫu nhỏ: chọn một trong các hướng sau.
- Bootstrap khoảng tin cậy cho hệ số hồi quy hoặc tác động gián tiếp.
- Kiểm định phi tham số: Mann-Whitney U thay t-test độc lập, Kruskal-Wallis thay ANOVA, Spearman thay Pearson. Xem t-test và ANOVA trong SPSS và tương quan Pearson.
- Mô hình cấu trúc: dùng PLS-SEM (công cụ PLS-SEM) hoặc CB-SEM với ước lượng vững (MLR, Satorra-Bentler) hoặc bootstrap Bollen-Stine trong AMOS.
- Biến định lượng dương lệch phải (thu nhập, doanh thu): lấy log. Không nên biến đổi điểm Likert.
Không chắc nên dùng kiểm định tham số hay phi tham số cho thiết kế của bạn? Công cụ chọn phương pháp hỏi vài câu và gợi ý kiểm định phù hợp.
Viết vào chương 4 như thế nào?
Kết quả thống kê mô tả cho thấy hệ số skewness của 24 biến quan sát nằm trong khoảng −1,083 đến 0,552 và kurtosis trong khoảng −0,883 đến 2,807, đều thấp hơn ngưỡng |skewness| < 2 và |kurtosis| < 7. Theo Kim (2013), với cỡ mẫu này các giá trị trên cho thấy dữ liệu xấp xỉ phân phối chuẩn, đủ điều kiện cho các phân tích tiếp theo. Phần dư của mô hình hồi quy cũng có phân phối xấp xỉ chuẩn (skewness = 0,008; kurtosis = 0,689).
Câu này nằm ở mục thống kê mô tả của chương 4; khung đầy đủ có ở bài cách viết chương 4.
Câu hỏi thường gặp
Shapiro-Wilk p = 0,000 có phải dữ liệu hỏng không?
Không. Với vài trăm quan sát, Shapiro-Wilk bắt được cả độ lệch rất nhỏ không ảnh hưởng đến kết quả (Ghasemi & Zahediasl, 2012). Thang Likert chỉ có 5 hoặc 7 mức nên về mặt kỹ thuật không bao giờ chuẩn hoàn toàn. Đánh giá bằng skewness, kurtosis và Q-Q plot.
Thang Likert có cần kiểm định phân phối chuẩn không?
Báo cáo skewness và kurtosis là đủ và hội đồng thường muốn thấy. Thảo luận Likert là thang khoảng hay thứ bậc có ở bài Likert là thang đo khoảng hay thứ bậc.
Skewness bằng −1,5 có được không?
Được theo ngưỡng |skewness| < 2. Ghi rõ nguồn ngưỡng bạn dùng trong bài.
Kurtosis trong SPSS có phải đã trừ 3 không?
Có. SPSS báo kurtosis vượt mức, phân phối chuẩn có giá trị 0. Ngưỡng 7 của Curran et al. (1996) cũng là kurtosis vượt mức.
PLS-SEM có cần kiểm định phân phối chuẩn không?
Không bắt buộc vì PLS-SEM dùng bootstrap, nhưng Hair et al. (2019) vẫn khuyên báo cáo skewness và kurtosis để người đọc biết đặc điểm dữ liệu.
Tài liệu tham khảo
- Curran, P. J., West, S. G., & Finch, J. F. (1996). The robustness of test statistics to nonnormality and specification error in confirmatory factor analysis. Psychological Methods, 1(1), 16–29. https://doi.org/10.1037/1082-989X.1.1.16
- Ghasemi, A., & Zahediasl, S. (2012). Normality tests for statistical analysis: A guide for non-statisticians. International Journal of Endocrinology and Metabolism, 10(2), 486–489. https://doi.org/10.5812/ijem.3505
- Hair, J. F., Risher, J. J., Sarstedt, M., & Ringle, C. M. (2019). When to use and how to report the results of PLS-SEM. European Business Review, 31(1), 2–24. https://doi.org/10.1108/EBR-11-2018-0203
- Kim, H.-Y. (2013). Statistical notes for clinical researchers: Assessing normal distribution (2) using skewness and kurtosis. Restorative Dentistry & Endodontics, 38(1), 52–54. https://doi.org/10.5395/rde.2013.38.1.52
- Lilliefors, H. W. (1967). On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association, 62(318), 399–402. https://doi.org/10.1080/01621459.1967.10482916
- Lumley, T., Diehr, P., Emerson, S., & Chen, L. (2002). The importance of the normality assumption in large public health data sets. Annual Review of Public Health, 23, 151–169. https://doi.org/10.1146/annurev.publhealth.23.100901.140546
- Shapiro, S. S., & Wilk, M. B. (1965). An analysis of variance test for normality (complete samples). Biometrika, 52(3–4), 591–611. https://doi.org/10.1093/biomet/52.3-4.591
- Tenenhaus, M., Esposito Vinzi, V., Chatelin, Y.-M., & Lauro, C. (2005). PLS path modeling. Computational Statistics & Data Analysis, 48(1), 159–205. https://doi.org/10.1016/j.csda.2004.03.005